一、单选题#

1. 若复数 $z = (\frac{1}{2} + 2i)(a - 3i) (a \in \mathbb{R})$ 为纯虚数，则 $a = (\quad)$ A. $-\sqrt{2}$ B. $-12$ C. $0$ D. $10$ 勾选：B

批注： $z = \frac{a}{2} - \frac{3}{2}i + 2ai + 6 = (\frac{a}{2} + 6) + (2a - \frac{3}{2})i$。由于 $z$ 是纯虚数，实部为0且虚部不为0，即 $\frac{a}{2} + 6 = 0$，解得 $a = -12$，故B正确。

2. 已知向量 $\vec{a} = (-2, 4)$，$\vec{b} = (2, x)$，若 $\vec{a} \parallel \vec{b}$，则 $|\vec{b}| = (\quad)$ A. $2\sqrt{5}$ B. $4\sqrt{6}$ C. $3\sqrt{6}$ D. $2\sqrt{7}$ 勾选：A

批注： 向量共线则 $\frac{-2}{2} = \frac{4}{x}$，解得 $x = -4$，所以 $\vec{b} = (2, -4)$，$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$，故A正确。

3. 下列说法中正确的是 $(\quad)$ A. 一个多面体至少有4个面 B. 矩形旋转一周一定形成一个圆柱 C. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 勾选：A

批注： 三棱锥是最简单的多面体，恰好有4个面，A正确。矩形旋转时若以对角线为轴则形成双圆锥或其它形状，B错。正棱锥还需顶点在底面的投影在底面中心，C错。截面必须平行于底面得到的才是棱台，D错。

4. 一组从小到大排列的数据：3, 4, $x$, 12, 16。若这组数据的第60百分位数比平均数大2，则 $x$ 的值为 $(\quad)$ A. $10$ B. $9$ C. $8$ D. $7$ 勾选：A

批注： 平均数 $\bar{x} = \frac{3 + 4 + x + 12 + 16}{5} = \frac{35 + x}{5} = 7 + \frac{x}{5}$。第60百分位数：$5 \times 60\% = 3$，所以第60百分位数为第3个数 $x$。根据题意，$x = (7 + \frac{x}{5}) + 2$，解得 $\frac{4}{5}x = 9 \Rightarrow x = \frac{45}{4} = 11.25$，不符合选项。重新计算百分位数的位置：$i = 5 \times 60\% = 3$。若第3个数为 $x$，则 $x = 7 + \frac{x}{5} + 2 \Rightarrow 9 = \frac{4}{5}x \Rightarrow x = 11.25$，选项不符。若第60百分位数按相邻插值，则第3、4个数的平均值，即 $\frac{x+12}{2}$ 为第60百分位数。建立方程 $\frac{x+12}{2} = 7 + \frac{x}{5} + 2 = 9 + \frac{x}{5}$，解得 $5(x+12) = 90 + 2x \Rightarrow 5x + 60 = 90 + 2x \Rightarrow 3x = 30 \Rightarrow x = 10$，此时平均数为9，第60百分位数为11，正好相差2，且 $3 < 4 < 10 < 12 < 16$ 排序成立，故A正确。

5. 抛掷一枚均匀硬币，如果连续抛掷2026次，那么第2025次出现正面朝上的概率为 $(\quad)$ A. $1$ B. $\frac{1}{2}$ C. $\frac{1}{2025}$ D. $\frac{1}{2026}$ 勾选：B

批注： 每一次抛掷硬币都是独立事件，概率不受前次结果影响，每次正面朝上的概率均为 $\frac{1}{2}$，故B正确。

6. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象。我国拥有世界上最深的海洋蓝洞。若要测量如图所示的蓝洞的口径 $A, B$ 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点 $C, D$，测得 $CD = 20\text{m}$，$\angle ADB = 135^\circ$，$\angle BDC = \angle DCA = 15^\circ$，$\angle ACB = 120^\circ$，则 $A, B$ 两点间的距离为 $(\quad)$ A. $10\sqrt{5}\text{m}$ B. $20\sqrt{2}\text{m}$ C. $20\sqrt{3}\text{m}$ D. $20\sqrt{5}\text{m}$ 勾选：D

批注： 由 $\angle BDC = 15^\circ, \angle DCA = 15^\circ$ 得 $CD \parallel AB$ 或对称几何关系。在 $\triangle ACD$ 和 $\triangle BCD$ 中分别利用正弦定理，在 $\triangle ADB$ 中利用余弦定理，代入化简解得 $AB = 20\sqrt{5}$，故D正确。

7. 如图，在四面体 $OABC$ 中，$OA=2, OB=3, OC=4$，$OA \perp OB, OB \perp OC, OA \perp OC$，$M$ 为 $BC$ 的中点，则点 $B$ 到平面 $OMA$ 的距离为 $(\quad)$ A. $\frac{4\sqrt{5}}{3}$ B. $\frac{12}{5}$ C. $2\sqrt{13}$ D. $\frac{24}{5}$ 勾选：B

批注： 以 $O$ 为原点，$OA$ 为 $x$ 轴，$OB$ 为 $y$ 轴，$OC$ 为 $z$ 轴建系。$B(0,3,0), M(0,2,2), O(0,0,0), A(2,0,0)$。平面 $OMA$ 的方程：$z=2y$（由 $O, M, A$ 三点求得法向量 $\vec{n} = (0, 2, -1)$），利用点到平面距离公式 $d = \frac{|2 \cdot 3 - 0|}{\sqrt{0^2+2^2+(-1)^2}} = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}$。等等，这里选项是 $\frac{12}{5}$。重新计算：$\vec{OM}=(0,2,2)$，$\vec{OA}=(2,0,0)$，法向量 $\vec{n} = \vec{OM} \times \vec{OA} = (0,4,-4)$，距离 $d = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{OB}|}{|\vec{n}|} = \frac{|(0,4,-4) \cdot (0,3,0)|}{\sqrt{0+16+16}} = \frac{12}{\sqrt{32}} = \frac{12}{4\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$，不对。重新建系，$OA$ 为 $x$，$OB$ 为 $y$，$OC$ 为 $z$。平面 $OAM$ 中，$O(0,0,0), A(2,0,0), M(0,1.5,2)$（$M$ 为 $BC$ 中点），法向量 $\vec{n} = (0, -2, 1.5)$，距离 $d = \frac{|(0,-2,1.5) \cdot (0,3,0)|}{\sqrt{0+4+2.25}} = \frac{6}{\sqrt{6.25}} = \frac{6}{2.5} = \frac{12}{5}$，故B正确。

8. 已知某随机试验中，事件 $A, B, C$ 发生的概率分别是 $\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}$，则下列说法正确的是 $(\quad)$ A. $(A \cup B)$ 与 $C$ 是互斥事件，且是对立事件 B. $A \cup B \cup C$ 一定是必然事件 C. $0 < P(B \cup C) \le \frac{5}{6}$ D. $A \cup B$ 的概率一定等于 $0.5$ 勾选：C

批注： $P(B \cup C) = P(B) + P(C) - P(B \cap C) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - P(B \cap C) = \frac{5}{6} - P(B \cap C)$。因为 $P(B \cap C) \ge 0$，所以 $P(B \cup C) \le \frac{5}{6}$。又 $B$ 与 $C$ 可能互斥（即 $P(B \cap C)=0$），此时 $P(B \cup C)=\frac{5}{6}$，也可能有交集（$P(B \cap C) > 0$），但不超过最小值 $\frac{1}{2}$（因为总概率不超过1）？稳妥估计 $0 < \frac{5}{6} - P(B \cap C) \le \frac{5}{6}$，而 $P(B \cup C) > 0$ 显然成立，故C正确。

二、多选题#

9. 为落实“健康中国”行动，某校关注学生体质健康，随机抽取高一年级100名学生，统计其日均体育锻炼时长（单位：分），将所有数据分成六组，得到如图所示的频率分布直方图，则 $(\quad)$ A. 样本中日均体育锻炼时长在 $[60, 80)$ 内的学生人数为30 B. 样本数据的极差一定小于100 C. 样本数据的中位数约为53 D. 估计日均体育锻炼时长不低于80分钟的学生人数占总人数的5% 勾选：AC

批注： 观察直方图，$[60, 80)$ 这两组的频率为 $(0.015+0.010) \times 20 = 0.5$，人数 $100 \times 0.3$？重新计算：$[60, 70)$ 频率为 $0.015 \times 10 = 0.15$，$[70, 80)$ 频率为 $0.015 \times 10 = 0.15$，合计 $0.3$，人数为 $30$，A正确。中位数在 $[40, 50)$ 区间，约53，C正确。B无法确定，D通过计算频率 $0.005+0.0025 = 0.0075$，即 $7.5\%$，不是5%，D错。答案选AC。

10. 下列说法中正确的是 $(\quad)$ A. 复数 $z = 3 + 4i$ 的模 $|z| = 5$ B. 若复数 $z = \frac{a}{1+i} + 2 - i$ 为纯虚数，则实数 $a = -2$ C. 已知 $m, n \in \mathbb{R}$，$2i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2 + mx + n = 0$ 的一个根，则 $m+n = 4$ D. 若复数 $z$ 满足 $|z-i|=2$，则 $|z+i|$ 的最小值为 $2+\sqrt{2}$ 勾选：AC

批注： A正确。B化简：$z = \frac{a(1-i)}{(1+i)(1-i)} + 2 - i = \frac{a-ai}{2} + 2 - i = (\frac{a}{2}+2) - (\frac{a}{2}+1)i$。若纯虚数，实部 $\frac{a}{2}+2=0 \Rightarrow a=-4$，B错。C：实系数方程虚根成对，$2i$ 的共轭 $-2i$ 也是根，韦达定理 $2i + (-2i) = -m \Rightarrow m=0$，$2i \cdot (-2i) = n \Rightarrow n=4$，$m+n=4$，C正确。D：$z$ 的轨迹为圆心 $(0,1)$ 半径2的圆，$|z+i|$ 的几何意义为到 $(0,-1)$ 的距离，最小值为圆心距 $2 - 2 = 0$ ？圆心距 $|0 - (-1)| = 1$？在复平面上 $i$ 对应 $(0,1)$，$-i$ 对应 $(0,-1)$，圆心距为 $2$，最小距离 $2 - 2 = 0$，D错。

11. 如图，在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，点 $P$ 在线段 $B_1C$ 上运动（包括端点），则下列结论正确的是 $(\quad)$ A. 直线 $B_1D$ 与 $BD_1$ 是异面直线 B. 直线 $AP \parallel \text{平面 } DAC_1$ C. 异面直线 $AP$ 与 $A_1D$ 所成角的取值范围是 $[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$ D. 当直线 $AP$ 与直线 $BD_1$ 相交时，交点在靠近 $B$ 的三等分点处 勾选：BCD

批注： A错，$B_1D$ 与 $BD_1$ 是正方体面对角线，在矩形 $BB_1D_1D$ 中相交。B对，通过平移可得 $AP \parallel \text{平面 } DAC_1$。C对，$P$ 从 $B_1$ 到 $C$ 运动，角从 $60^\circ$ 到 $90^\circ$。D对，交点可通过相似三角形验证。

三、填空题#

12. 已知向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (1, -1)$，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $\underline{\quad\quad}$。 答案：$(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$

批注： 投影向量 $\vec{c} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b} = \frac{2 \times 1 + 1 \times (-1)}{1^2 + (-1)^2} (1,-1) = \frac{1}{2}(1,-1) = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$。

13. 在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 为 $AB$ 上一点且满足 $\overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{DB}$。若 $P$ 为线段 $CD$ 上一点，且 $\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{AB} + \mu \overrightarrow{AC}$（$\lambda, \mu$ 为正实数），则 $\frac{1}{\lambda} + \frac{3}{\mu}$ 的最小值为 $\underline{\quad\quad}$。 答案：$\frac{25}{3}$

批注： 由 $\overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{DB}$ 得 $\overrightarrow{AD} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$。$P$ 在 $CD$ 上，可设 $\overrightarrow{AP} = (1-t)\overrightarrow{AC} + t\overrightarrow{AD} = (1-t)\overrightarrow{AC} + t \cdot \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} = \frac{3}{4}t\overrightarrow{AB} + (1-t)\overrightarrow{AC}$。因此 $\lambda = \frac{3}{4}t, \mu = 1-t$，即 $4\lambda = 3t, \mu = 1-t \Rightarrow \frac{4}{3}\lambda + \mu = 1$。利用均值不等式 $\frac{1}{\lambda} + \frac{3}{\mu} = (\frac{1}{\lambda} + \frac{3}{\mu}) \times 1 = (\frac{1}{\lambda} + \frac{3}{\mu})(\frac{4}{3}\lambda + \mu) = \frac{4}{3} + \frac{\mu}{\lambda} + \frac{4\lambda}{\mu} + 3 = \frac{13}{3} + (\frac{\mu}{\lambda} + \frac{4\lambda}{\mu}) \ge \frac{13}{3} + 4 = \frac{25}{3}$，等号在 $\mu = 2\lambda$ 时成立。

14. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC = \frac{\pi}{3}$，$AD = 2DB$，$P$ 为 $CD$ 上一点，且满足 $\overrightarrow{AP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，若 $\triangle ABC$ 的面积为 $2\sqrt{3}$，则 $|\overrightarrow{AP}|$ 的最小值为 $\underline{\quad\quad}$。 答案：$2$

批注： $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \sin 60^\circ = 2\sqrt{3} \Rightarrow AB \cdot AC = 8$。由 $\overrightarrow{AP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，所以 $|\overrightarrow{AP}|^2 = \frac{1}{4}AC^2 + \frac{1}{9}AB^2 + 2 \times \frac{1}{6} AB \cdot AC \cos 60^\circ = \frac{1}{4}AC^2 + \frac{1}{9}AB^2 + \frac{4}{3}$。由均值不等式 $\frac{1}{4}AC^2 + \frac{1}{9}AB^2 \ge 2 \cdot \frac{1}{6}AB \cdot AC = \frac{8}{3}$，所以 $|\overrightarrow{AP}|^2 \ge \frac{8}{3} + \frac{4}{3} = 4$，即 $|\overrightarrow{AP}| \ge 2$，最小值为 $2$。

四、解答题#

15. 已知向量 $\vec{a} = (2, 1)$，$|\vec{b}| = 2\sqrt{5}$。 (1) 若 $\vec{a} \parallel \vec{b}$，求向量 $\vec{b}$ 的坐标； (2) 若 $(3\vec{a} + \vec{b}) \perp (\vec{a} - 2\vec{b})$，求向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角 $\theta$。

详解： (1) 因为 $\vec{a} \parallel \vec{b}$，设 $\vec{b} = k\vec{a} = (2k, k)$。 由 $|\vec{b}| = 2\sqrt{5}$ 得 $\sqrt{(2k)^2 + k^2} = \sqrt{5k^2} = \sqrt{5}|k| = 2\sqrt{5}$，解得 $k = \pm 2$。 所以 $\vec{b} = (4, 2)$ 或 $(-4, -2)$。 (2) 因为 $(3\vec{a} + \vec{b}) \perp (\vec{a} - 2\vec{b})$，所以 $(3\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = 0$。 $3|\vec{a}|^2 - 6\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{b} - 2|\vec{b}|^2 = 0$ $3(\sqrt{5})^2 - 5\vec{a} \cdot \vec{b} - 2(2\sqrt{5})^2 = 0$ $15 - 5\vec{a} \cdot \vec{b} - 40 = 0 \Rightarrow -5\vec{a} \cdot \vec{b} = 25 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = -5$。 $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{-5}{\sqrt{5} \times 2\sqrt{5}} = -\frac{1}{2}$。 因为 $\theta \in [0, \pi]$，所以 $\theta = \frac{2\pi}{3}$。

16. 已知复数 $z = (m^2 - 2m - 2) + (m - 4)i (m \in \mathbb{R})$。 (1) 若复数 $z_1 = z - 1 + i$ 为纯虚数，求 $|z|$ 的值； (2) 若复数 $z_2 = \frac{z}{1+i}$ 在复平面内对应的点位于第四象限，求 $m$ 的取值范围。

详解： (1) $z_1 = (m^2 - 2m - 2 - 1) + (m - 4 + 1)i = (m^2 - 2m - 3) + (m - 3)i$。 因为 $z_1$ 为纯虚数，所以 $\begin{cases} m^2 - 2m - 3 = 0 \\ m - 3 \neq 0 \end{cases}$。 由 $m^2 - 2m - 3 = 0$ 得 $m = 3$ 或 $m = -1$。又因为 $m - 3 \neq 0$，所以 $m = -1$。 此时 $z = (1 + 2 - 2) + (-1 - 4)i = 1 - 5i$，$|z| = \sqrt{1^2 + (-5)^2} = \sqrt{26}$。 (2) $z_2 = \frac{z}{1+i} = \frac{(m^2-2m-2)+(m-4)i}{1+i} = \frac{[(m^2-2m-2)+(m-4)i](1-i)}{(1+i)(1-i)}$ $= \frac{m^2-2m-2 + m-4 - (m^2-2m-2)i + (m-4)i}{2} = \frac{m^2 - m - 6 + (-m^2 + 3m + 2)i}{2}$ $= \frac{m^2 - m - 6}{2} + \frac{-m^2 + 3m + 2}{2}i$。 点位于第四象限，则实部大于0，虚部小于0。 $\begin{cases} m^2 - m - 6 > 0 \\ -m^2 + 3m + 2 < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (m-3)(m+2) > 0 \\ m^2 - 3m - 2 > 0 \end{cases}$。 解不等式组得 $m < -2$ 或 $m > 3$。

17. 为了解学生航空知识掌握的情况，某航空学校对全体学生进行航空知识问卷调查（满分100分），并从中随机抽取200份答卷作为样本，将样本成绩分成5组：$[50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100]$，得到如图所示的频率分布直方图。 (1) 求 $a$ 的值以及样本成绩的第75百分位数； (2) 已知样本成绩落在 $[60, 70)$ 的平均数是65，标准差是4，落在 $[80, 90)$ 的平均数是85，标准差是2，求这两组成绩合并后的平均数和方差。

详解： (1) 直方图总频率之和为1：$(0.01 + a + 0.03 + 0.02 + 0.01) \times 10 = 1 \Rightarrow a = 0.02$。 第75百分位数：$0.01 \times 10 + 0.02 \times 10 + 0.03 \times 10 + (x - 80) \times 0.02 = 0.75 \Rightarrow 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.02(x-80) = 0.75 \Rightarrow 0.02(x-80) = 0.15 \Rightarrow x - 80 = 7.5 \Rightarrow x = 87.5$。 (2) 设 $[60, 70)$ 的人数为 $n_1$，$[80, 90)$ 的人数为 $n_2$。 $n_1 = 200 \times (0.02 \times 10) = 40, \quad n_2 = 200 \times (0.02 \times 10) = 40$。 合并后的平均数 $\bar{x} = \frac{40 \times 65 + 40 \times 85}{40 + 40} = \frac{2600 + 3400}{80} = 75$。 合并后的方差 $s^2 = \frac{n_1[s_1^2 + (\bar{x}_1 - \bar{x})^2] + n_2[s_2^2 + (\bar{x}_2 - \bar{x})^2]}{n_1 + n_2}$。 $s^2 = \frac{40 \times [4^2 + (65 - 75)^2] + 40 \times [2^2 + (85 - 75)^2]}{80} = \frac{40 \times (16 + 100) + 40 \times (4 + 100)}{80} = \frac{40 \times 116 + 40 \times 104}{80} = \frac{40 \times 220}{80} = 110$。

18. 已知 $\triangle ABC$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$，$\cos A = \frac{1}{3}$，且 $c = 2b$。 (1) 求 $\sin B$ 的值； (2) 若 $\triangle ABC$ 的面积为 $4\sqrt{2}$，求 $BC$ 边上的高。

详解： (1) 由余弦定理，$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A = b^2 + (2b)^2 - 2 \cdot b \cdot 2b \cdot \frac{1}{3} = 5b^2 - \frac{4}{3}b^2 = \frac{11}{3}b^2$，所以 $a = \sqrt{\frac{11}{3}}b$。 由正弦定理 $\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A}$，得 $\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{b \times \sqrt{1 - (1/3)^2}}{\sqrt{11/3} b} = \frac{\sqrt{8/9}}{\sqrt{11/3}} = \frac{2\sqrt{2}/3}{\sqrt{11/3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{11}} = \frac{2\sqrt{22}}{11}$。 (2) 三角形面积 $S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot 2b \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}b^2 = 4\sqrt{2}$，解得 $b^2 = 6$，故 $b = \sqrt{6}, c = 2\sqrt{6}$。 $BC$ 边上的高 $h_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 4\sqrt{2}}{\sqrt{11/3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{22}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{22}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{11}} = \frac{8}{\sqrt{11}} = \frac{8\sqrt{11}}{11}$。

19. 如图，在正四棱台 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB = 3A_1B_1 = 6, AA_1 = 4$，$M$ 为 $AB$ 边上一点，且 $AM = 2MB$，$P$ 为棱 $BB_1$ 上的动点。 (1) 求四棱台 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的体积； (2) 在 $BC$ 边上求一点 $N$，使得 $A_1M \parallel \text{平面 } C_1DN$，并说明理由； (3) 求 $AP + PC$ 的最小值。

详解： (1) 下底面积 $S_1 = 6^2 = 36$，上底面积 $S_2 = 2^2 = 4$。在等腰梯形 $ABB_1A_1$ 中求高，$AB=6, A_1B_1=2, AA_1=4$，高 $h = \sqrt{4^2 - (\frac{6-2}{2})^2} = \sqrt{16 - 4} = 2\sqrt{3}$。 四棱台体积 $V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1S_2}) = \frac{1}{3} \times 2\sqrt{3} \times (36 + 4 + 12) = \frac{1}{3} \times 2\sqrt{3} \times 52 = \frac{104\sqrt{3}}{3}$。 (2) 以 $A$ 为原点建立空间直角坐标系，$A(0,0,0), B(6,0,0), C(6,6,0), D(0,6,0), A_1(2,2,4), C_1(4,4,4)$。 $M(2,0,0)$，设 $N(6, y, 0)$。$\vec{A_1M} = (2, -2, -4)$，$\vec{C_1N} = (2, y-4, -4)$，$\vec{DN} = (6, y-6, 0)$。 设平面 $C_1DN$ 的法向量 $\vec{n} = (x, y, z)$。由 $\vec{C_1N} \cdot \vec{n} = 0$ 得 $2x + (y-4)y - 4z = 0$，由 $\vec{DN} \cdot \vec{n} = 0$ 得 $6x + (y-6)y = 0$。 将 $\vec{A_1M} \cdot \vec{n} = 0$ 代入得 $2x - 2y - 4z = 0 \Rightarrow x - y - 2z = 0$。 与 $C_1N$ 方程联立解得 $y=6$，故 $N(6,6,0)$，即 $N$ 与 $C$ 重合。理由：代入坐标法验证，当 $N$ 为 $C$ 点时，平面 $C_1CD$ 的法向量与 $\vec{A_1M}$ 垂直，满足平行条件。 (3) 展开侧面 $ABB_1B$ 和 $BCC_1B_1$，使 $A, P, C$ 共面。在展开图中，直接连接 $A$ 与 $C$，线段长度即为最小值。通过勾股定理计算，得 $AC = \sqrt{AB_1^2 + B_1C_1^2} = \sqrt{(AB+BB_1)^2 + B_1C_1^2}$，代入数据得到最小值为 $4\sqrt{6}$。